Música, Física y Matemáticas

Componentes: Andreu, Ferran, Maribel, Marta Profesor, Jordi Lagares Roset Centro: IES Santiago Sobrequés Objetivos: Hacer unos apuntes de la asignatura de matemáticas de tercero de BUP Ponerlos en un sistema hipertexto. Ayuda Windows. Hacer un trabajo aplicando los conocimientos de matemáticas de tercero de BUP. Añadir el estudio al sistema hipertexto para dotarlo de multimedia y sonido. Introducción: El objetivo del presente trabajo es conocer con cierta profundidad la naturaleza de los sonidos. Para hacerlo utilizaremos conceptos aprendidos en la asignatura de matemáticas: Funciones, funciones trigonométricas, integrales definidas... y un sistema informático de grabación, reproducción, representación, análisis y síntesis de sonidos compuesto de ordenador, tarjeta de sonido y programas de software, FRESSA, UMBRAL DE AUDICIÓN, y el WAVEEDIT (programa que se adjunta con la  tarjeta SoundBLASTER). La idea es ver como podemos trabajar unos conocimientos aprendidos en mat

Es necesario un PC Compatible con Windows 3.1. Para poder reproducir y grabar sonidos debe estar instalada una tarjeta de sonido compatible con las Extensiones Multimedia del Windows, (cualquier tarjeta que quiera sobrevivir lo cumple, por ejemplo las SOUND BLASTER). Se necesitan unos 4.5 megas libres en el disco duro. Se instala en el proceso de instalación del sistema se encuentra en el directorio \MARICEL\ Para ejecutarlo, doble clic en su icono. A partir de aquí navegar a través de él mediante la técnica del hipertexto, a través del índice alfabético, a través de los enlaces, palabras subrayadas (etc.). Los hiperenlaces tienen una apariencia distinta de las ayudas típicas de Windows que acostumbran a ser palabras coloreadas en verde y subrayadas. También hemos puesto un fondo gris para distinguirlo de los típicos fondos blancos de las ayudas. Tampoco es una ayuda ya que esta aplicación no está asociada a ningún otro programa. Para poder ver correctamente las fórmulas m

¿Qué dice? Observemos una función periódica Esta función se llama diente de sierra. El teorema de Fourier dice que dada una función periódica esta puede ser aproximada mediante la serie de Fourier, con mejor aproximación cuanto más términos cojamos. Dada una función F(x) la serie de Fourier es la siguiente función: donde a n   y b n   son los llamados coeficientes de Fourier de la función F(x) y se calculan mediante las siguientes fórmulas:   y Donde 2l es el valor del período.  En el ejemplo 4 · n = 0,1,2,3,4,... La justificación de estas fórmulas esta fuera del alcance del nivel al cual dirigimos este trabajo, pero lo que representan, si. Veamos qué representa el Teorema de Fourier. En primer lugar vamos a calcular los diferentes coeficientes de la serie, para ello debemos calcular las integrales definidas: Nuestra función periódica es impar. Se puede demostrar que las funciones impares todos los   valen 0. En las pares son lo

Vamos a sintetizar un tono senoidal puro, de 440 Hz, un La . Debemos construir una sucesión de números de manera que en un segundo haya 440 períodos enteros.                                                Si x coge valores entre 0 y T (1 período) obtendremos una oscilación entera. Para nosotros x tomará los valores 1, 2, 3, ... cada uno de los muestreos. Si la frecuencia de muestreo es 11025 implica que 1 período deberá tener, 440 / 11025 ~ 25 muestras. Entonces si, y damos a x valores 1, 2, 3, 4, ... construiremos una nota de frecuencia ~ 440, un La . Cada 11025 valores tendremos 1 segundo de La. La onda resultante tendrá una amplitud de 1. Si queremos calcular una onda con mayor amplitud deberemos multiplicar el valor anterior por dicha amplitud . Así si los valores que calculamos son: Obtendremos un La de amplitud 16. Recordamos que si trabajamos a 8 bits los valores máximos y mínimos que puede tener la amplitud son respectivamente 127 y -127. Eso

El sonido se produce cuando algo vibra, dicha vibración se transmite a través del aire mediante ondas de presión y si hay alguien cerca, llega  a  sus orejas haciendo vibrar al tímpano transmitiéndola al sentido del oído, éste lo analiza y finalmente envía información al cerebro donde se produce la sensación de sonido. El oído humano, y en término medio, solo puede percibir sonidos cuyas frecuencias se hallen en el intervalo  de 20 y 20.000 vibraciones por segundo. Eso significa que una cuerda  o una mesa que ha producido un sonido, para ser percibido, a parte de encontrarse cerca, precisa que vibre entro estos dos números cada segundo. Hay animales, como los perros, que este margen es distinto. Pueden percibir frecuencias más elevadas. Para empezar podemos estudiar dos sonidos distintos: sonido 1 y sonido 2 . Y podemos observar la representación en función del tiempo de: la presión del aire, o de la amplitud de vibración del objeto que produce el sonido, o la amplitud del

Para realizar estas experiencias de acústica utilizamos una tarjeta de sonido . Es interesante conocer un poco sus propiedades de grabación y reproducción. Es una herramienta que digitaliza una señal eléctrica que puede provenir de un micrófono o cualquier aparato musical. Para decirlo de otra manera convierte dicha señal en números que se pueden almacenar en el ordenador, para así éste poder tratar. Estos números no son más que la elongación de la señal cada cierto intervalo de tiempo. El número de veces por segundo que captamos dicha elongación es lo que llamamos frecuencia de muestreo . Los números pueden ser guardados mediante 1 byte o 2 bytes. Es lo que llamamos resolución de cada muestra y se llaman respectivamente de 8 bits (1byte) o de 16 bits (2 bytes). También podemos registrar con un o dos canales , cuando gravamos en dos canales es lo que llamamos estéreo . Cuanto más alta sea la frecuencia de muestreo y mayor el número de bits de resolución más calidad tendrá la

Hay unos conceptos ligados con los sonidos que son importantes. Uno es el de la frecuencia que va ligado con lo que llamamos altura : Eso es una nota de frecuencia baja, nota grave. Eso es una nota de frecuencia alta nota aguda. Otro concepto es el de intensidad que va ligado con la amplitud ; escuchemos dos sonidos de la misma altura (frecuencia), pero distinta intensidad: Eso es un sonido más fuerte. Eso es un sonido más débil. Ahora estudiaremos el concepto de timbre, escucharemos y vemos dos sonidos de la misma altura, más o menos de la misma intensidad, pero distinto timbre: Timbre 1 Timbre 2 Observamos que suenan diferente y tienen forma de onda distinta, pero son percibidos con la misma altura. Lo que los distingue es la distinta composición de armónicos que tienen ambas. Podremos comprender mejor esto si miramos el apartado Teorema de Fourier . BIBLIOGRAFÍA Para conocer mejor a este fenómeno recomendamos leer: Física general

Grabamos la voz de una chica, la letra A . Y la voz de un chico, también la letra A . Observamos que las formas de las ondas son muy parecidas, pero la forma de la onda de la chica es más pequeña. Período menor, frecuencia más elevada, más o menos el doble. Por eso se acostumbra a decir que las chicas hablan una octava más arriba que los chicos. Las chicas cantan notas más altas, sopranos , y los chicos más grave, bajos .

Representemos la función f(x) = 2sen(x) entre -15p y 15p. Representemos la función f(x)=sen(0.1x)·2 sen(x) entre -15p y 15p. Podemos observar que la forma de la función es la misma que la función seno a secas, pero la amplitud va cambiando. Este fenómeno se llama amplitud modulada . Modulada por la función sen(0´1x). Si escuchamos un sonido con esta forma de onda lo que percibiremos es un tono puro, pero con una intensidad cambiante es lo que en términos musicales se llama trémolo o pulsaciones. A continuación observaremos un curioso fenómeno. Representemos la función f(x)=sen(1.1x)+sen(0.9x) entre -20p y 20p. Esta función es más o menos 2 veces la función sen(x) , pero está formada por un seno con una frecuencia ligeramente superior a la del sen(x) (1) que vale  1´1 más un seno con una frecuencia ligeramente inferior 0´9. El resultado que  vemos en la gráfica es el mismo que la gráfica anterior (excepto un desfase que a efectos de sonido no influye). Si l

Para medir la velocidad del sonido podemos proceder de la siguiente manera: Colocamos dos micrófonos separados una cierta distancia, 1 metro, por ejemplo, cuanta más mejor se observará el fenómeno. Cada uno de ellos conectado a un canal de los dos que tenemos cuando grabamos en estéreo. Provocamos un sonido seco y corto, por ejemplo un golpe en una mesa. A continuación observamos la forma de la onda de los dos canales. Vemos que el segundo canal está retrasado respecto al primero y también es menos intenso. Si dividimos el espacio que hay entre los dos micrófonos, entre el tiempo que hay entre el principio del sonido en un canal y en el otro obtendremos la velocidad del sonido en el aire en el pasadizo donde se realizó la experiencia. Observamos que entre donde empieza el ruido en el canal 1 y donde empieza en el canal 2 hay 33 muestras. Hemos realizado la grabación 11.025 Hz, si dividimos 33 entre 11.025 tendremos el tiempo (segundos) que ha tardado de más en llegar al s

Todos hemos percibido el efecto Doppler, pero ¿cuántos lo hemos visto?. Todos hemos observado que si pasa un tren a gran velocidad emitiendo un pitido, el sonido que escuchamos cuando se acerca el tren es distinto de cuando se aleja. Nosotros hemos grabado el claxon de un coche bajando una pendiente con el motor parado y a unos 50 Km/h. Se puede demostrar (ver bibliografía) que el sonido que escuchamos cuando se acerca o se aleja es el mismo que el original, pero con la frecuencia cambiada. Cuando se acerca, la frecuencia es mayor y cuando se va menor. Las fórmula que permiten calcular ambas frecuencias son: fr   = frecuencia real fp1 , fp2   = frecuencias percibidas c = velocidad del sonido v = velocidad del emisor del sonido Si se acerca Si se aleja Si observamos la forma de la onda unos instantes antes de que el objeto nos cruce, se acerca. Y si lo hacemos unos instantes después, se aleja. Podemos comprobar como la forma de la onda es más anc

Si definimos la música como el arte de combinar sonidos para producir un efecto estético , ¿qué tipo de sonidos utilizamos para hacerlo?. Pitágoras descubrió que si golpeábamos dos cuerdas iguales, igualmente tensadas, pero de longitud con una relación sencilla de números enteros, 1/2; 2/3;... el sonido que producían era agradable, se llamó armonioso. A partir de estas relaciones entre las longitudes de las cuerdas definió la escala musical. Que no es más que el conjunto de sonidos que utilizamos para producir música. Más modernamente al descubrir la relación entre las notas musicales y las frecuencias podemos enfocar el problema desde otro punto de vista. Decimos que dos sonidos son armoniosos si su relación de frecuencias es un cociente de nombres enteros pequeños. Definimos intervalo entre dos sonidos como la relación entre sus frecuencias. Definimos escala musical como los sonidos que utilizaremos entre una frecuencia y la frecuencia doble . Son las notas que van de do a do

Si tocamos dos o más notas juntamente decimos que tocamos un acorde , si suena agradablemente el acorde es consonante y si no disonante . Históricamente se ha considerado que los acordes de segunda o de séptima son disonantes y los otros consonantes. Lo que llevamos acabo en este apartado es sintetizar dos familias de acordes de dos notas uno construido con tonos senoidales puros y los otros con algunos armónicos lo que hace que los sonidos tengan más riqueza. Cada persona al escucharlos puede opinar si le parecen consonantes o disonantes.. Estos acordes están construidos con el do central del piano, 261,63 Hz . y utilizando la escala temperada . Se podría experimentar con acordes construidos con otras escalas.  Acordes a partir da senoidales puras Octava do + do de la octava superior, 12 semitonos. Séptima do + si, 11 semitonos. Séptima menor do + siB, 10 semitonos. Sexta mayor do + la, 9 semitonos. Sexta menor do + laB, 8 semitonos. Quinta do + sol, 7 sem

En primer lugar lo que hacemos es grabar una nota de guitarra . A continuación trataremos de sintetizar un sonido que se parezca al sonido de la guitarra. En primer lugar observamos la forma de la onda a escala grande.  Vemos que la amplitud no es constante, eso era de esperar ya que al principio la onda suena más fuerte y se va atenuando. Vemos la forma de la onda en la zona  media y detectemos su periodicidad. Si calculamos los coeficientes de Fourier  en la zona media, sintetizamos la onda y la visualizamos. Vemos que la onda se parece mucho a la original, pero si la escuchamos , percibimos que los sonidos no se parecen demasiado. Para explicar el porqué podemos visualizar la grabación real en una zona del final. Observamos que la onda es distinta del principio. Si calculamos los coeficientes de Fourier en esta zona vemos que son distintos de la primera zona. También podemos ver que la frecuencia de cada una de les ondas completas tiene una frecuen

Vamos a realizar un estudio de la sensibilidad para distintas frecuencias del oído. Se trata de ver cual es la intensidad mínima necesaria para cada frecuencia que necesita una persona para percibir un sonido. Procedimiento: En primer lugar observamos dos ejemplos para poner de manifiesto el fenómeno. Mediante el programa FRESSA, sintetizamos dos sonidos de amplitud 10 y frecuencias 20 y 1000 Hz,  los reproducimos y observamos que el sonido de 1000 es perfectamente audible y el de 20 no lo percibimos.  A partir de aquí lo que pretendemos es descubrir la dependencia funcional entre la intensidad mínima necesaria para que un sonido sea audible y la frecuencia. A continuación sintetizamos sonidos a partir de 20 Hz. con intensidades sucesivamente mayores y anotamos la intensidad a partir de la cual el sonido se hace audible. El resultado lo indicamos en la gráfica siguiente: Normalmente el tipo gráfica que se utiliza en lugar de: Intensidad = F(frecuencia) es

Hardware - Ordenador PC . - Tarjeta de sonido SoundBlaster (conectada al ordenador). - Micrófono . - Cadena musical para grabar y reproducir sonidos. - Grabadora portátil , trabajo de campo. Software - Windows 3.1 . - Fressa , sistema de grabación, reproducción, representación, análisis y síntesis de sonidos. - Microsoft Word , como sistema de autor del sistema hipertexto y edición de textos. - Microsoft Help Compiler for Windows 3.1 , herramienta generadora del sistema hipertexto. - Hag , es un sistema hipertexto de Microsoft que explica como se realiza una ayuda Windows. - Funciones per a Windows , programa que ha generado la mayoría de los gráficos. - Microsoft PaintBrush , para la edición de dibujos. - SoundBlaster Wave para la edición de sonidos. - Borland Quattro Pro , hoja de cálculo. Bibliografía Libros: (Libro inspirador del presente trabajo, lo creemos, muy recomendable) - Los sonidos de la Música , John R. Pierce, Biblioteca Scientif